Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，，直線MN分別與x軸、y軸交于點M（6，0），N（0， ），等邊△ABC的頂點B與原點O重合，BC邊落在x軸正半軸上，點A恰好落在線段MN上，將等邊△ABC從圖l的位置沿x軸正方向以每秒l個單位長度的速度平移，邊AB，AC分別與線段MN交于點E，F（如圖2所示），設△ABC平移的時間為t（s）．

（1）等邊△ABC的邊長為_______；

（2）在運動過程中，當t=_______時，MN垂直平分AB；

（3）若在△ABC開始平移的同時．點P從△ABC的頂點B出發．以每秒2個單位長度的速度沿折線BA—AC運動．當點P運動到C時即停止運動．△ABC也隨之停止平移．

①當點P在線段BA上運動時，若△PEF與△MNO相似．求t的值；

②當點P在線段AC上運動時，設，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）3；（3）①t=1或或；②S= ，當t=時，△PEF的面積最大，最大值為，此時P（3， ）．

【解析】試題分析：（1）根據，∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案．

（2）易知當點C與M重合時直線MN平分線段AB，此時OB=3，由此即可解決問題；

（3）①如圖1中，由題意BP=2t，BM=6﹣t，由△PEF與△MNO相似，可得=或=，即=或=，解方程即可解決問題；

②當P點在EF上方時，過P作PH⊥MN于H，如圖2中，構建二次函數利用二次函數的性質即可解決問題；

試題解析：解：（1）∵直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N，OM=6cm，ON=，∴tan∠OMN= =，∴∠OMN=30°，∴∠ONM=60°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠AOC=60°，∠NOA=30°，∴OA⊥MN，即△OAM為直角三角形，∴OA=OM=×6=3．故答案為：3．

（2）易知當點C與M重合時直線MN平分線段AB，此時OB=3，所以t=3．故答案為：3．

（3）①如圖1中，由題意BP=2t，BM=6﹣t，∵∠BEM=90°，∠BME=30°，∴BE=3﹣，AE=AB﹣BE=，∵∠BAC=60°，∴EF=AE=t，當點P在EF下方時，PE=BE﹣BP=3﹣t，由，解得0≤t＜，∵△PEF與△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=1或t=．

當點P在EF上方時，PE=BE﹣BP=t-3，∵△PEF與△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=或3．∵0≤t≤，且t-3＞0，即＜t≤，∴t=.

綜上所述，t=1或或．

②當P點在EF上方時，過P作PH⊥MN于H，如圖2中，由題意，EF=t，FC=MC=3﹣t，∠PFH=30°，∴PF=PC﹣CF=（6﹣2t）﹣（3﹣t）=3﹣t，∴PH=PF=，∴S=EFPH=×t×= =，∵≤t≤3，∴當t=時，△PEF的面積最大，最大值為，此時P（3， ），當t=3時，點P與F重合，故P點在EF下方不成立．

故S= ，當t=時，△PEF的面積最大，最大值為，此時P（3， ）．