Question

【題目】如圖，已知拋物線（）與y軸交于點C，與x軸交于點A（1，0）和點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求直線BC的解析式；

（3）若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似？若能，請求出所有符合條件的點N的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）N坐標（5，2）或（2，﹣1）或（－3，14）．

【解析】

試題分析：（1）把點A坐標代入拋物線解析式，即可求得拋物線的解析式；

（2）先求出拋物線的對稱軸，再求得點B、C坐標，設直線BC的解析式為，然后把B、C兩點坐標代入直線BC的解析式，求得k和b即可；

（3）設N（x，），分兩種情況討論：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根據相似，得出比例式，再分別求得點N坐標即可．

試題解析：（1）∵點A（1，0）在拋物線（）上，∴，∴，∴拋物線的解析式為：；

（2）拋物線的對稱軸為直線，∴點B（4，0），C（0，2），設直線BC的解析式為，∴把B、C兩點坐標代入線BC的解析式為，得：，解得：，∴直線BC的解析式；

（3）設N（x，），分三種情況討論：

①當△OBC∽△HNB時，如圖1，，即，解得，（不合題意，舍去），∴點N坐標（5，2）；

②當△OBC∽△HBN時，如圖2，，即，解得，（不合題意舍去），∴點N坐標（2，﹣1）；

③當N（x，）在第二象限時，H（x，0）在x軸負半軸上，∴BH=，∵△OBC∽△HNB，∴，即，得到：，解得，（不合題意，舍去），∴點N坐標（－3，14）；

綜上所述點N坐標（5，2）或（2，﹣1）或（－3，14）．