Question

【題目】計算下列各題
（1）如圖1，△ABC和△E中，AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，D點在AB上，連接AE、DC．則AE和CD有什么數量和位置關系？
（2）類比： 若將圖1中的△DBE繞點B逆時針旋轉一個銳角，如圖2所示，問圖2中的線段AE，CD之間的數量和位置關系還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：AE=CD，AE⊥CD，

理由：延長CD交AE于F，

在△AEB和△CDB中，

∵ ，

∴△AEB≌△CDB（SAS）

∴AE=CD，

∠EAB=∠DCB，

∵∠DCB+∠CDB=90°，

∠ADF=∠CDB，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠AFD=90°，

∴AE⊥CD

（2）解：解：（2）AE=CD，AE⊥CD，

∵∠DBE=∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠DBC，

在△AEB和△CDB中，

∴△AEB≌△CDB，

∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，

∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，

∴∠KOA+∠KAO=90°，

∴∠AKC=90°，

∴AE⊥CD．

【解析】（1）延長CD交AE于K，根據全等三角形的性質得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，由于∠DCB+∠CDB=90°，于是得到結論；（2）由于∠DBE=∠ABC=90°，得到∠ABE=∠DBC，根據全等三角形的性質得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，等量代換得到∠KOA+∠KAO=90°，于是得到結論．
【考點精析】掌握旋轉的性質是解答本題的根本，需要知道①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．