Question

【題目】如圖，在矩形中，為對角線，過點作，交于點，點在上，交于點，且，，則線段的長為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AC交BD于O，BD交AF于M，連接GO，CM，CE交BD于點N．利用全等三角形的性質證明OC=CM，∠ACG=∠GCM，作GK⊥CM交CM的延長線于K，作GJ⊥AC于J．則有GJ=GK，可得 推出AG=2GM，證明△MOG≌△MBF（AAS），可得OG=BF=GM=FM，設GM=k，則GM=BF=MF=OG=k，AG=FG=CF=2k，利用勾股定理構建方程組即可解決問題．

解：連接AC交BD于O，BD交AF于M，連接GO，CM，CE交BD于點N．

∵四邊形ABCD是矩形， ∴OA=OC，

∵AG=GF=CF， ∴∠FCG=∠FGC，OG∥CF，

∴∠OGC=∠FCG=∠FGC，

∵CE⊥BD， ∴∠GNO=∠GNM=90°，

∵GN=GN， ∴△GNO≌△GNM（ASA），

∴ON=NM，OG=GM，

∵∠CNO=∠CNM=90°，CN=CN，

∴△CNO≌△CNM（SAS），

∴∠OCN=∠MCN，OC=MC= AC，

∴GC平分∠ACM，作GK⊥CM交CM的延長線于K，作GJ⊥AC于J．則有GJ=GK，

∴

同理：

∴AG=2GM，

∵AG=GF， ∴GM=MF，

∵∠MOG=∠MBF，∠OMG=∠BMF，

∴△MOG≌△MBF（AAS），

∴OG=BF=GM=FM，

設GM=k，則GM=BF=MF=OG=k，AG=FG=CF=2k，

∴BC=3k，

在Rt△ABF中，∵ ∴ ①，

在Rt△ABC中，∵ AC=BD=

∴ ②，

由①②可得AB=

故答案為