Question

【題目】已知中點分別在邊、邊上，連接點、點在直線同側，連接且．

（1）點與點重合時，

①如圖1，時，和的數量關系是 ；位置關系是 ；

②如圖2，時，猜想和的關系，并說明理由；

（2）時，

③如圖3，時，若求的長度；

④如圖4，時，點分別為和的中點，若，直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①AE=FC；AE⊥FC；②AE=2FC；AE⊥FC；理由見解析；（2）③FC = 6；④MN的最小值為．

【解析】

（1）①利用SAS證出△ABE≌△CDF，從而證出AE=FC，∠A=∠DCF，然后證出∠ACF=90°即可得出結論；

②根據相似三角形的判定證出△ABE∽△CDF，從而得出∠A=∠DCF，，然后證出∠ACF=90°即可得出結論；

（2）③作GD⊥BC于點D，交AC于點G；作GH⊥AB于點H，交AB于點H；DM⊥AC，利用SAS證出△EDG≌△FDC，從而得出EG=FC，令DC=a，BD=2a，根據三角形的面積公式即可求出a值，從而求出結論；

④連接MD和MC，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=CM=，從而得出點M的運動軌跡為是CD的垂直平分線的一部分，作CD的垂直平分線MH交BC于H，然后證出四邊形NMHG為平行四邊形，從而求出結論．

（1）①解：∵

∴∠ABC=∠EDF=90°，∠A＋∠BCA=90°

∴∠ABE＋∠EDC=∠CDF＋∠EDC

∴∠ABE=∠CDF

∵

∴AB=CB，DE=DF

∴△ABE≌△CDF

∴AE=FC，∠A=∠DCF

∴∠DCF＋∠BCA=90°

∴∠ACF=90°

∴AE⊥FC

故答案為：AE=FC；AE⊥FC；

②證明：AE=2FC；AE⊥FC

∵DF⊥DE

∴∠EDF=∠ABC=90°

∴∠ABE=∠CDF·

∵

∴△ABE∽△CDF

∴∠A=∠DCF，

∵∠A+∠ACB=90°

∴∠DCF+∠ACB=90°

∴∠ACF=90°；即FC⊥AE·

（2）③解：作GD⊥BC于點D，交AC于點G；作GH⊥AB于點H，交AB于點H；DM⊥AC．

∴四邊形BDGH為矩形

∴DB=HG

∵∠ABC=90°，

∴∠A=∠HGA =∠ACB=45°

∴DC=DG

∵DE⊥DF

∴∠EDG=∠FDC

∴△EDG≌△FDC（SAS）

∴EG=FC

∵BD=2CD

∴令DC=a，BD=2a

∴AG=

∴EG=，MD=·

∵

∴

解得，（舍）

∴FC = EG=6

④∵，AB=10

∴BC=5

∵

∴CD=

由③易證∠ECF=90°

在Rt△EDF和Rt△ECF中，點M為EF的中點，連接MD和MC

∴DM=CM=

∴點M的運動軌跡為是CD的垂直平分線的一部分，作CD的垂直平分線MH交BC于H

∴當NM⊥MH時，MN的最小，易知MN∥BC，MH∥AB，CH==

取BC的中點G，連接NG，則CG==

∴NG為△ABC的中位線

∴NG∥AB

∴MH∥NG

∴四邊形NMHG為平行四邊形

∴此時MN=GH=CG－CH=

即MN的最小值為．