Question

【題目】如圖，ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ACB的平分線CD交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD，交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．

（1）求證：PD//AB；

（2）求證：DE=BF；

（3）若AC=6，tan∠CAB=，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連結OD，由AB為⊙O的直徑，根據圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據切線的性質得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）利用角的關系得出∠FBD=∠EDA，進而得出△FBD≌△EDA，即可得出DE=BF；
（3）在Rt△ACB中，利用AC=6，tan∠CAB=，可得BC=8，再利用勾股定理得出AB=10，由△DAB為等腰直角三角形，可得AD=5，由AE⊥CD，得出△ACE為等腰直角三角形，得出AE=CE=3，在Rt△AED中，可得DE=4，得出CD=7，由角的關系得出△PDA∽△PCD，利用比例式可得出PA=PD，PC=PD，由PC=PA+AC，可求得PD=，即可得出PC的值．

證明：（1）連結，如圖，

∵為的直徑，∴，

∵的平分線交于點，

∴，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵為的切線，∴，∴．

（2）∵于點，于點，

∴，∴，

∴為等腰直角三角形，∴，

∵，∴，

在和中，，

∴，

∴．

（3）在，∵，，

∴，∴，

∵為等腰直角三角形，∴，

∵，

∴為等腰直角三角形，∴，

在中，，

∴，

∵，∴，∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，，

又∵，

∴，解得，

∴．