Question

【題目】若△ABC和△DEF的面積分別為S1、S2 ．
（1）如圖①，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，∠D=150°，比較S1與S2的大小為；
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1=S2
D.不能確定
（2）說明（1）的理由．
（3）如圖②，在△ABC與△DEF中，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，點E在以D為圓心，DE長為半徑的半圓上運動，∠EDF的度數為α，比較S1與S2的大小（直接寫出結果，不用說明理由）．

Answer 1

【答案】
（1）C
（2）解：如圖1，

作BG⊥AC垂足為G，作EH⊥DF，垂足為H，

在Rt△BCG中，∠C=30°，

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC，

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC

在Rt△EDH中，∠EDH=180°﹣∠EDF=30°，

∴EH=EDsin∠EDH=EDsin30°= ED，

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DE，

∵BC=DE，AC=DF，

∴S1=S2

（3）解：如圖2，過點B作BG⊥AC，

①當0°＜α≤90°時，

在Rt△BCG中，∠C=30°，

∴BG=BCsin∠C=BCsin30°= BC，

∴S1= AC×BG= AC× BC= AC×BC，

∵BC=DE，AC=DF，

∴S1= DF×DE= DF×DE× ，

在Rt△EDH中，∠EDH=α，

∴EH=EDsin∠EDH=EDsinα，

∴S2= DF×EH= DF× ED= DF×DEsinα，

Ⅰ、當sinα＜ 時，即：0°＜α＜30°時，S1＞S2，

Ⅱ、當sinα= 時，即：α=30°時，S1=S2，

Ⅲ、當sinα＞ 時，即：30°＜α≤90°時，S1＜S2，

②當90°＜α＜180°時，設∠MDN=β=180°﹣α，

同①方法得，S1= DF×DE× ，

S2= DF×DEsinβ，

Ⅰ、當sinβ＜ 時，即：0°＜β＜30°時，

∴0°＜180°﹣α＜30°，即：150°＜α＜180°時，S1＞S2，

Ⅱ、當sinβ= 時，即：β=30°時，即：α=150°時，S1=S2，

Ⅲ、當sinβ＞ 時，即：30°＜β＜90°時，即：90°＜α＜150°時，S1＜S2，

綜上所述，

Ⅰ．當α＜30°、150°＜α＜180°時S1＞S2；

Ⅱ．當α=30°、α=150°時S1=S2；

Ⅲ．當30°＜α＜150°時，S1＜S2．

【解析】（1）先直接判斷出結論，（2）用三角形的面積公式即可得出結論；（3）用三角形的面積公式，再用三角函數中正弦值的性質分類討論即可得出結論．