Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中點，點E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A'處，當A'E⊥AC時，A'B= ．

Answer 1

【答案】 或7
【解析】解：分兩種情況： ①如圖1，過D作DG⊥BC與G，交A′E與F，過B作BH⊥A′E與H，

∵D為AB的中點，
∴BD= AB=AD，
∵∠C=90，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BD=AD=5，
sin∠ABC= ，
∴ ，
∴DG=4，
由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，
∴sin∠DA′E=sin∠A= ，
∴ ，
∴DF=3，
∴FG=4﹣3=1，
∵A′E⊥AC，BC⊥AC，
∴A′E∥BC，
∴∠HFG+∠DGB=180°，
∵∠DGB=90°，
∴∠HFG=90°，
∵∠EHB=90°，
∴四邊形HFGB是矩形，
∴BH=FG=1，
同理得：A′E=AE=8﹣1=7，
∴A′H=A′E﹣EH=7﹣6=1，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B= = ；
②如圖2，過D作MN∥AC，交BC與于N，過A′作A′F∥AC，交BC的延長線于F，延長A′E交直線DN于M，

∵A′E⊥AC，
∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，
∴∠M=∠MA′F=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠F=∠ACB=90°，
∴四邊形MA′FN是矩形，
∴MN=A′F，FN=A′M，
由翻折得：A′D=AD=5，
Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，
∴FN=A′M=4，
Rt△BDN中，∵BD=5，
∴DN=4，BN=3，
∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，
BF=BN+FN=3+4=7，
Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B= =7 ；
綜上所述，A′B的長為 或7 ．
故答案為： 或7 ．
分兩種情況：
①如圖1，作輔助線，構建矩形，先由勾股定理求斜邊AB=10，由中點的定義求出AD和BD的長，證明四邊形HFGB是矩形，根據同角的三角函數列式可以求DG和DF的長，并由翻折的性質得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，由矩形性質和勾股定理可以得出結論：A′B= ；②如圖2，作輔助線，構建矩形A′MNF，同理可以求出A′B的長．