Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（8，0），四邊形ABCD是正方形．

（1）填空：b= ；

（2）點D的坐標為 ；

（3）點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外），在x軸上方是否存在另一個點N，使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=6;

（2）點D的坐標為（14，8）；

（3）存在，x軸上方的點N有兩個，分別為（， ）和（﹣4，3）．

【解析】（1）把（4，0）代入y=x+b即可求得b的值；

（2）過點D作DE⊥x軸于點E，證明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的長，則D的坐標即可求得；

（3）分當OM=MB=BN=NO時；當OB=BN=NM=MO=3時兩種情況進行討論．

解：∵直線y=x+b分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（8，0），

∴﹣×8+b=0，

解得：b=6，；

（2）如圖1，過點D作DE⊥x軸于點E，

則∠AOB=∠DEA=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90，

∴∠1=∠3，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，

∵在△AOB和△DEA中，

∠1=∠3，∠AOB=∠DEA=90°，AB=DA，

∴△AOB≌△DEA（AAS），

∴OA=DE=8，OB=AE=6，

∴OE=OA+AE=8+6=14，

∴點D的坐標為（14，8）；

（3）存在．

①如圖2，當OM=MB=BN=NO時，四邊形OMBN為菱形．連接NM，交OB于點P，則NM與OB互相垂直平分，

∴OP=OB=3，

∴當y=3時， x+6=3，

解得：x=4，

∴點M的坐標為（4，3），

∴點N的坐標為（﹣4，3）．

②如圖3，當OB=BN=NM=MO=6時，四邊形BOMN為菱形．延長NM交x軸于點P，則MP⊥x軸．

∵點M在直線y=x+6上，

∴設點M的坐標為（a， a+6）（a＞0），

在Rt△OPM中，OP2+PM2=OM2，

即：a2+（a+6）2=62，

整理得： a2﹣9a=0，

∵a＞0，

∴a﹣9=0，

解得：a=，

∴點M的坐標為（， ），

∴點N的坐標為（， ）．

綜上所述，x軸上方的點N有兩個，分別為（， ）和（﹣4，3）．

“點睛”此題考查了待定系數法求函數解析式、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、菱形的性質、勾股定理以及一元二次方程，主要掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．