Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①PD＝DF；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正確結論的序號為（ ）

A.①②④B.①②C.①④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據正方形的對角線平分對角的性質，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得PD＝DF．

②先證明四邊形PECF為矩形，根據等腰直角三角形和矩形的性質可得其周長為2BC，則四邊形PECF的周長為8；

③根據P的任意性可以判斷△APD不一定是等腰三角形；

④四邊形PECF為矩形，通過正方形的軸對稱性，證明AP＝EF；

∵PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，CD⊥BC，∴PF∥BC，

∴∠DPF＝∠DBC，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠DBC＝45°

∴∠DPF＝∠DBC＝45°，

∴∠PDF＝∠DPF＝45°，

∴PF＝EC＝DF，

在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，

∴PD＝DF．

故①正確；

②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四邊形PECF為矩形，

∴四邊形PECF的周長＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，

故②正確；

③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP＝45°，

∴當∠PAD＝45°或67.5°或90°時，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，

故③錯誤．

④∵四邊形PECF為矩形，

∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，

∵正方形為軸對稱圖形，

∴AP＝PC，

∴AP＝EF，

故④正確；

故選：A．