Question

【題目】數學活動﹣旋轉變換

（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉50°得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．
①猜想：直線BB′與⊙A′的位置關系，并證明你的結論；
②連接A′B，求線段A′B的長度；
（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，將△ABC繞點C逆時針旋轉2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓，問：角α與角β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由，并求此條件下線段A′B的長度（結果用角α或角β的三角函數及字母m、n所組成的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①中

，

∵△A′B′C是由△ABC旋轉得到，

∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，

∴∠CBB′=∠CB′B=65°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°

（2）

解：①結論：直線BB′、是⊙A′的切線．理由：如圖②中

，

∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，

∴∠CBB′=∠CB′B=60°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．

∴AB′⊥BB′，

∴直線BB′、是⊙A′的切線．

②∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，

∴A′B= =

（3）

解：如圖③中

，

當α+β=180°時，直線BB′、是⊙A′的切線．

理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，

∴∠CBB′=∠CB′B= ，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．

∴AB′⊥BB′，

∴直線BB′、是⊙A′的切線．

在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，

∴BB′=2nsinβ，

在RT△A′BB′中，A′B=

【解析】（1）根據∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．（2）（Ⅰ）結論：直線BB′、是⊙A′的切線．只要證明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在RT△ABB′中，利用勾股定理計算即可．（3）如圖③中，當α+β=180°時，直線BB′、是⊙A′的切線．只要證明∠A′B′B=90°即可解決問題．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．本題考查圓的綜合題、旋轉不變性、勾股定理、切線的判定、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練運用這些知識解決問題，充分利用旋轉不變性，屬于中考壓軸題．