Question

【題目】已知拋物線y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m為常數，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，y1），B（ ，y2），C（﹣m，y3）是該拋物線上不同的三點，現將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉90°得到直線a，過拋物線頂點P作PH⊥a于H．

（1）用含m的代數式表示拋物線的頂點坐標；
（2）若無論m取何值，拋物線與直線y=x﹣km（k為常數）有且僅有一個公共點，求k的值；
（3）當1＜PH≤6時，試比較y1 ， y2 ， y3之間的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵﹣ =﹣ ， = =﹣ ，

∴頂點坐標（﹣ ，﹣ ）

（2）

解：由 消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）=0，

∵拋物線與x軸有且僅有一個公共點，

∴△=0，即（k﹣3）m=0，

∵無論m取何值，方程總是成立，

∴k﹣3=0，

∴k=3

（3）

解：PH=|﹣ ﹣（﹣ ）|=| |，

∵1＜PH≤6，

∴當 ＞0時，有1＜ ≤6，又﹣1≤m≤4，

∴ ＜m≤ ，

當 ＜0時，1＜﹣ ≤6，又∵﹣1≤m≤4，

∴ ，

∴﹣1≤m＜﹣ 或 ＜m≤ ，

∵A（﹣m﹣1，y1）在拋物線上，

∴y1=（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）=﹣4m，

∵C（﹣m，y3）在拋物線上，

∴y3=（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）=﹣4m，

∴y1=y3，

①令 ＜﹣m﹣1，則有m＜﹣ ，結合﹣1≤m≤﹣ ，

∴﹣1≤m＜﹣ ，

此時，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，如圖1：

，

∴y2＞y1=y3，

即當﹣1≤m＜﹣ 時，有y2＞y1=y3．

②令 =﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令 ＞﹣m﹣1，且 ≤﹣ 時，有﹣ ＜m≤﹣ ，結合﹣1≤m＜﹣ ，

∴﹣ ＜m≤﹣ ，

此時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，如圖2：

∴y1=y3＞y2，

即當﹣ ＜m≤﹣ 時，有y1=y3＞y2，

④令﹣ ≤ ＜﹣m，有﹣ ≤m＜0，結合﹣1≤m＜﹣ ，

∴﹣ ≤m＜﹣ ，

此時，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，如圖3：

∴y2＜y3=y1．

⑤令 =﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．

⑥令 ＞﹣m，有m＞0，結合 ＜m≤ ，

∴ ＜m≤ ，

此時，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，如圖4：

∴y2＞y3=y1，

即當 ＜m≤ 時，有y2＞y3=y1，

綜上所述，﹣1≤m＜﹣ 或 ＜m≤ 時，有y2＞y1=y3，

﹣ ＜m＜﹣ 時，有y2＜y1=y3．

【解析】（1）根據頂點坐標公式即可解決問題．（2）列方程組根據△=0解決問題．（3）首先證明y1=y3 ， 再根據點B的位置，分類討論，①令 ＜﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，②令 =﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．
③令 ＞﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，④令﹣ ≤ ＜﹣m，求出m的范圍即可判斷，⑤令 =﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令 ＞﹣m，求出m的范圍即可判斷．本題考查二次函數綜合題、頂點坐標公式等知識，解題的關鍵是熟練掌握利用根的判別式解決拋物線與直線的交點問題，學會分類討論，學會利用函數圖象判斷函數值的大小，屬于中考壓軸題．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．