Question

【題目】如圖，拋物線 經過A（－3,0），C(5,0)兩點，點B為拋物線頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點P從點B出發，沿線段BD向終點D作勻速運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t，過點P作PM⊥BD，交BC于點M，以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ，邊QN交BC于點R，延長NM交AC于點E．

①當t為何值時，點N落在拋物線上；

②在點P運動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時刻的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①t=4；②

【解析】試題分析：（1）把點A、C坐標代入拋物線解析式得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得解；

（2）根據拋物線解析式求出頂點B的坐標，然后根據相似三角形對應邊成比例用t表示出PM，再求出NE的長度．①表示出點N的坐標，再根據點N在拋物線上，把點N的坐標代入拋物線，解方程即可得解；

②根據PM的長度表示出QD，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后根據直線BC的解析式求出點R的橫坐標，從而求出QR的長度，再表示出EC的長度，然后根據平行四邊形對邊平行且相等列式求解即可．

試題解析：解：（1）∵y=ax2+bx+經過A（﹣3，0），C（5，0）兩點，∴，解得： ，∴拋物線的解析式為；

（2）∵=﹣（x2﹣2x+1）+=﹣（x﹣1）2+8，∴點B的坐標為（1，8）．設直線BC的解析式為y=kx+m，則，解得： ，所以直線BC的解析式為y=﹣2x+10．∵拋物線的對稱軸與x軸交于點D，∴BD=8，CD=5﹣1=4．∵PM⊥BD，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BDC，∴，即，解得：PM=t，∴OE=1+t．∴ME=-2(1+t)+10=8-t．．∵四邊形PMNQ為正方形，∴NE=NM+ME=8﹣t+t=8﹣t．

①點N的坐標為（1+t，8﹣t），若點N在拋物線上，則﹣（1+t﹣1）2+8=8﹣t，整理得，t（t﹣4）=0，解得t1=0（舍去），t2=4，所以，當t=4秒時，點N落在拋物線上；

②存在．理由如下：

∵PM=t，四邊形PMNQ為正方形，∴QD=NE=8﹣t．∵直線BC的解析式為y=﹣2x+10，∴﹣2x+10=8﹣t，解得：x=t+1，∴QR=t+1﹣1=t．又∵EC=CD﹣DE=4﹣t，根據平行四邊形的對邊平行且相等可得QR=EC，即t=4﹣t，解得：t=，此時點P在BD上，所以，當t=時，四邊形ECRQ為平行四邊形．