Question

【題目】如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM=BN，連接AC交BN于點(diǎn)E，連接DE交AM于點(diǎn)F，連接CF，若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段CF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】2﹣2

【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，然后利用“HL”證明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△DCE和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AFD=90°，取AD的中點(diǎn)O，連接OF、OC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OF=AD=2，利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小．

詳解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE．在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1=∠2．在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．

∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，∴∠1+∠ADF=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，取AD的中點(diǎn)O，連接OF、OC，則OF=DO=AD=2．在Rt△ODC中，OC===2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+CF＞OC，∴當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小，最小值=OC﹣OF=2﹣2．

故答案為：2﹣2．