Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）兩點．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+4x；

（2）存在滿足條件的D點，其坐標為（1，0）或（0， ）或（0， ）；理由見解析；

（3）點M的坐標為（+1，2+）．

【解析】解：（1）∵A（1，3），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x；（2分）

（2）存在三個點滿足題意，理由如下：

當點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，

∵A（1，3），∴D坐標為（1，0）；

當點D在y軸上時，設D（0，d），則AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，

∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，

∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，

∴D點坐標為（0，）或（0，）；

綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為（1，0）或（0，）或（0，）；（8分）

（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點F，

∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，

∴==3，∴MF=3PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，∴tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°，設BC=a，則CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF==，

∴FN=PF，∴MN=MF+FN=4PF，

∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2××4PF2，

∴a=2PF，∴NC=a=2PF，∴==，

∴MN=NC=×a=a，∴MC=MN+NC=（+）a，

∴M點坐標為（4﹣a，（ +）a），

又M點在拋物線上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，

解得a=3﹣或a=0（舍去），OC=4﹣a=+1，MC=2+，

∴點M的坐標為（+1，2+）．（12分）