Question

【題目】已知：一次函數的圖象與反比例函數（）的圖象相交于A，B兩點（A在B的右側）．

（1）當A（4，2）時，求反比例函數的解析式及B點的坐標；

（2）在（1）的條件下，反比例函數圖象的另一支上是否存在一點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）時，直線OA與此反比例函數圖象的另一支交于另一點C，連接BC交y軸于點D．若，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1），B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）10．

【解析】

試題分析：（1）把點A的坐標代入，就可求出反比例函數的解析式；解一次函數與反比例函數的解析式組成的方程組，就可得到點B的坐標；

（2）△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，分兩種情況討論：①若∠BAP=90°，過點A作AH⊥OE于H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，求得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．證明△AHM∽△EHA，再根據相似三角形的性質可求出MH，從而得到點M的坐標，然后用待定系數法求出直線AP的解析式，再解直線AP與反比例函數的解析式組成的方程組，就可得到點P的坐標；②若∠ABP=90°，同理即可得到點P的坐標；

（3）過點B作BS⊥y軸于S，過點C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，易證△CTD∽△BSD，根據相似三角形的性質可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到．由A、B都在反比例函數的圖象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把代入即可求出a的值，從而得到點A、B、C的坐標，運用待定系數法求出直線BC的解析式，從而得到點D的坐標及OD的值，然后運用割補法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB．

試題解析：（1）把A（4，2）代入，得k=4×2=8，∴反比例函數的解析式為，解方程組，得：或，∴點B的坐標為（1，8）；

（2）①若∠BAP=90°，過點A作AH⊥OE于H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，對于y=﹣2x+10，當y=0時，﹣2x+10=0，解得x=5，∴點E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可設直線AP的解析式為，則有，解得m=，∴直線AP的解析式為，解方程組，得：或，∴點P的坐標為（﹣4，﹣2）．

②若∠ABP=90°，同理可得：點P的坐標為（﹣16，）．

綜上所述：符合條件的點P的坐標為（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；

（3）過點B作BS⊥y軸于S，過點C作CT⊥y軸于T，連接OB，如圖2，則有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函數的圖象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=（﹣2×+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．

設直線BC的解析式為，則有，解得：，∴直線BC的解析式為．當x=0時，y=2，則點D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=ODCT+ODBS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．