Question

【題目】如圖，現將一張矩形ABCD的紙片一角折疊，若能使點D落在AB邊上F處，折痕為CE，恰好∠AEF=60°，延長EF交CB的延長線于點G．

（1）求證：△CEG是等邊三角形；
（2）若矩形的一邊AD=3，求另一邊AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC即AD∥GC，

∴∠G=∠AEF=60°，

由折疊可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°﹣∠AEF=120°

∴∠GEC=∠CED= ∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，

∴△CEG是等邊三角形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，

由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，

∴EF=2AE，CE=2DE．設AE=x，則EF=2x，ED=EF=2x，

∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，

在Rt△CDE中，CD=

∴AB=2 ．

【解析】（1）由折疊可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由AD∥GC，可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG是等邊三角形；（2）在Rt△AEF中，∠AEF=60°，設AE=x，則EF=2x，由折疊的性質得ED=EF=2x，根據AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾股定理可求CD，即AB的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．