Question

【題目】定義：有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做“準(zhǔn)矩形”；有兩組鄰邊（不重復(fù)）相等的四邊形叫做“準(zhǔn)菱形”．如圖①，在四邊形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，則四邊形ABCD是“準(zhǔn)矩形”；如圖②，在四邊形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，則四邊形ABCD是“準(zhǔn)菱形”．

（1）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請(qǐng)分別在圖③、圖④中畫出“準(zhǔn)矩形”ABCD和“準(zhǔn)菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格點(diǎn)上）；

（2）下列說(shuō)法正確的有 ；（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

①一組對(duì)邊平行的“準(zhǔn)矩形”是矩形；②一組對(duì)邊相等的“準(zhǔn)矩形”是矩形；

③一組對(duì)邊相等的“準(zhǔn)菱形”是菱形；④一組對(duì)邊平行的“準(zhǔn)菱形”是菱形．

（3）如圖⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向外作“準(zhǔn)菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于點(diǎn)D．

①若∠ACE＝∠AFE，求證：“準(zhǔn)菱形”ACEF是菱形；

②在①的條件下，連接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，請(qǐng)直接寫出四邊形ACEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①②③④；（3）①證明見解析；②

【解析】

（1）根據(jù)準(zhǔn)矩形和準(zhǔn)菱形的特點(diǎn)畫圖即可；

（2）根據(jù)矩形的判定定理和菱形的判定定理結(jié)合準(zhǔn)矩形和準(zhǔn)菱形的性質(zhì)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷即可；

（3）①先根據(jù)已知得出△ACF≌△ECF，再結(jié)合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，則證明了準(zhǔn)菱形ACEF是平行四邊形，又因?yàn)?/span>AC＝EC即可得出準(zhǔn)菱形ACEF是菱形；

②取AC的中點(diǎn)M，連接BM、DM，根據(jù)四邊形ACEF是菱形可得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，點(diǎn)M是圓心，根據(jù)圓周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根據(jù)∠ACD＝30°即可求出AD，CD的長(zhǎng)，則可求出菱形的面積．

（1）；

（2）①因?yàn)椤?/span>A＝∠C＝90°，結(jié)合一組對(duì)邊平行可以判斷四邊形為矩形，故①正確；

②因?yàn)椤?/span>A＝∠C＝90°，結(jié)合一組對(duì)邊相等可以判斷四邊形為矩形，故②正確；

③因?yàn)?/span>AB＝AD，BC＝DC，結(jié)合一組對(duì)邊相等可以判斷四邊形為菱形，故③正確；

④因?yàn)?/span>AB＝AD，BC＝DC，結(jié)合一組對(duì)邊平行可以判斷四邊形為菱形，故④正確；

故答案為：①②③④；

（3）①證明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，

∴△ACF≌△ECF（SSS）．

∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，

∵∠ACE＝∠AFE，

∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，

∴AC∥EF，AF∥CE，

∴準(zhǔn)菱形ACEF是平行四邊形，

∵AC＝EC，

∴準(zhǔn)菱形ACEF是菱形；

②如圖：取AC的中點(diǎn)M，連接BM、DM，

∵四邊形ACEF是菱形，

∴AE⊥CF，∠ADC=90°，

又∵∠ABC=90°，

∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，點(diǎn)M是圓心，

∵∠ACB=15°，

∴∠AMB=30°，

∵∠ACD=30°，

∴∠AMD=60°，

∴∠BMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴BM=DM=BD=×=1，

∴AC=2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

∴AD=AC×sin30°=1，CD=AC×cos30°=，

∴菱形ACEF的面積=×1××4=．