Question

在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．

（1） 當點P與點C重合時（如圖①）．求證：△BOG≌△POE；（4分）
（2）通過觀察、測量、猜想：=   ，并結合圖②證明你的猜想；（5分）
（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）（5分）

Answer 1

（1）證明見解析（2），證明見解析（3）

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，
∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。
（2）。證明如下：
如圖，過P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90⁰， ∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =45⁰， ∴∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=90⁰—∠BMN， ∠NPE=90⁰—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90⁰。
又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF="MF" ，即BF=BM。
∴BF=PE， 即。
（3）如圖，過P作PM//AC交BG于點M，交BO于點N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90⁰。
由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN。
∵∠BNM=∠PNE=90⁰，∴△BMN∽△PEN。
∴。
在Rt△BNP中，， ∴，即。
∴。
（1）由正方形的性質可由AAS證得△BOG≌△POE。
（2）過P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通過ASA證明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通過ASA證明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出的結論。
（3）過P作PM//AC交BG于點M，交BO于點N，同（2）證得BF=BM， ∠MBN=∠EPN，從而可證得△BMN∽△PEN，由和Rt△BNP中即可求得。