Question

【題目】如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）求證：△ADC≌△CEB；

（2）求證：AD+BE=DE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以說明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE+BE=AD，理由見解析

【解析】試題分析：（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據AAS即可得到答案；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．

試題解析：

（1）如圖1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

∵ ，

∴△ADC≌△CEB；

∴DC=BE，AD=EC，

∵DE=DC+EC，

∴DE=BE+AD．

（2）解：DE+BE=AD．理由如下：

如圖2，∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°．

又∵AD⊥MN于點D，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠BCE．

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．