Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50° ，D是BC的中點，以AC為腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，連接BE，交AD于點F，交AC于點G．

（1）求∠AEB的度數；

（2）求證：∠AEB＝∠ACF；

（3）若AB＝4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）20°；（2）32.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的旋轉得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）根據等腰三角形的性質得出∠BAF=∠CAF，根據SAS推出△BAF≌△CAF，根據全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根據全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根據勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2，即可得出答案．

（1）∵AB＝AC，AC＝AE．

∴AB＝AE，

∴∠AEB＝∠ABE．

∵∠BAC＝50°，∠CAE＝90°，

∴∠BAE＝50°＋90°＝140°．

∴∠AEB＝．

（2）∵AB＝AC，D是BC的中點，

∴∠BAF＝∠CAF．

∴△ABF≌△ACF．

∴∠ABF＝∠ACF．

∵∠AEB＝∠ABE，

∴∠AEB＝∠ACF．

（3）∵∠AEB＝∠ACF ，∠AGE＝∠CGF，

∴∠CFE＝∠CAE＝90°．

∴．

∵CF＝BF，

∴．

∵，

∴．