Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC的高CD與角平分線AE相交點F，過點C作CH⊥AE于G，交AB于H．下列說法：①∠BCH=∠CAE；②DF=EF；③CE=BH；④S△ABE=2S△ACE；⑤CF=DF．正確的是_____．

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

①根據同角的余角相等可得結論正確；
②如圖1，作輔助線，構建三角形的內心為F，根據角平分線的性質得：DF=FM，由垂線段最短可知：EF>FM，則EF>DF；
③如圖1，證明△ACF≌△CBH，可得CF=BH=CE，可作判斷；
④如圖2，連接EH，FH，先證明四邊形CFHE是菱形，得CD∥EH，則EH⊥AB，所以△EHB是等腰直角三角形，則BE=EH=CE，根據三角形面積公式可得S△ABE=S△ACE；
⑤如圖2，易得△ADF≌△CDH，由△FDH是等腰直角三角形，則FH=DF，所以CF=FH=DF．

①∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∵CH⊥AE，
∴∠CGE=90°，
∴∠BCH+∠AEC=90°，
∴∠BCH=∠CAE；
故①正確；
②如圖1,連接FB,過F作FM⊥BC于M,

∵AC=BC，CD⊥AB，
∴CD平分∠ACB，
∵AE平分∠CAB，
∴BF平分∠ABC，
∵FD⊥AB，
∴DF=FM，
Rt△FME中,∠AEC=45°+22.5°=67.5°，
∴EF>FM，
即EF>DF，
故②不正確；
③如圖1，∵∠DCH=∠BCH，AE⊥CG，
∴∠CFG=∠CEF，
∴CF=CE，
在△ACF和△CBH中，
∵∠HCB=∠FAC，BC=AC，∠B=∠ACF=45°，
∴△ACF≌△CBH，
∴CF=BH=CE,
故③正確；
④如圖2，連接EH，FH，
∵∠AHC=∠B+∠BCH=45°+22.5°=67.5°，

∠ACH=90°∠BCH=67.5°，
∴∠AHC=∠ACH，
∴AC=AH，
∵AE⊥CH，
∴CG=GH，
∵CF=CE，
∴GF=GE，
∴四邊形CFHE是菱形，
∴CD∥EH，
∵CD⊥AB，
∴EH⊥AB，
∴△EHB是等腰直角三角形，
∴BE=EH=CE，
∵S△ABE=BEAC，
S△ACE=CEAC，
∴S△ABE=S△ACE，
故④不正確；
⑤如圖2,易得△ADF≌△CDH，
∴DF=DH，
∴∠FHD=45°，
∴△FDH是等腰直角三角形，
∴FH=DF，
∵∠AHC=67.5°，
∴∠FHC=∠FCH=22.5°，
∴CF=FH=DF，
故⑤正確；
綜上所述，正確的是：①③⑤
故答案為：①③⑤.