Question

【題目】如圖，直線CD與EF相交于點O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB的直角頂點與O重合，OA平分∠COE．

(1)求∠BOD的度數；

(2)將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點O順時針旋轉，同時直線EF也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉，設運動時間為t秒(0≤t≤40)．

①當t為何值時，直線EF平分∠AOB；

②若直線EF平分∠BOD，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】(1)∠BOD＝60°；(2)當t＝2.5s或32.5s時，直線EF平分∠AOB；②t的值為12s或36s．

【解析】

（1）依據∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根據∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

（2）①分兩種情況進行討論：當OE平分∠AOB時，∠AOE＝45°；當OF平分∠AOB時，AOF＝45°；分別依據角的和差關系進行計算即可得到t的值；

②分兩種情況進行討論：當OE平分∠BOD時，∠BOE＝∠BOD；當OF平分∠BOD時，∠DOF＝∠BOD；分別依據角的和差關系進行計算即可得出t的值．

(1)∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，

∴∠AOC＝30°，

又∵∠AOB＝90°，

∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

(2)①分兩種情況：

當OE平分∠AOB時，∠AOE＝45°，

即9t+30°﹣3t＝45°，

解得t＝2.5；

當OF平分∠AOB時，AOF＝45°，

即9t﹣150°﹣3t＝45°，

解得t＝32.5；

綜上所述，當t＝2.5s或32.5s時，直線EF平分∠AOB；

②t的值為12s或36s．

分兩種情況：

當OE平分∠BOD時，∠BOE＝∠BOD，

即9t﹣60°﹣3t＝(60°﹣3t)，

解得t＝12；

當OF平分∠BOD時，∠DOF＝∠BOD，

即3t﹣(9t﹣240°)＝(3t﹣60°)，

解得t＝36；

綜上所述，若直線EF平分∠BOD，t的值為12s或36s．

故答案為：(1)∠BOD＝60°；(2)當t＝2.5s或32.5s時，直線EF平分∠AOB；②t的值為12s或36s．