Question

【題目】如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于點D、E，交AB于點H，交AC于點F．P是ED延長線上一點，且PC＝PF．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若AD2＝DEDF，求證：CF=EF

（3）在（2）的條件下，若OH＝1，AH＝2，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．

【解析】

試題解析：（1）連接OC，證明∠OCP=90°即可．

（2）乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．

（3）可以先根據勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長．

試題解析：（1）連接OC．

∵PC=PF，OA=OC，

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，

∴∠AHF=90°，

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，

∴PC是⊙O的切線．

（2）點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD2=DEDF，理由如下：

連接AE．

∵點D在劣弧AC中點位置，

∴∠DAF=∠DEA，

∵∠ADE=∠ADE，

∴△DAF∽△DEA，

∴AD：ED=FD：AD，

∴AD2=DEDF．

（3）連接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，

∴OA=3，即可得OD=3，

∴DH=

∵點D在劣弧AC中點位置，

∴AC⊥DO，

∴∠OGA=∠OHD=90°，

在△OGA和△OHD中，

∴△OGA≌△OHD（AAS），

∴AG=DH，

∴AC=4．