Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x-2）2-2與y軸交于點A（0，1），直線AB∥x軸交拋物線于點B，點P是直線AB上一點（不與A、B重合），PQ∥y軸交拋物線于點Q，以PQ為斜邊向左作等腰直角三角形PQM，設點P的橫坐標為m．

（1）求這條拋物線所對應的函數表達式．

（2）當線段PQ被x軸平分時，求m的值．

（3）當等腰直角三角形PQM夾在x軸與直線AB之間的圖形為軸對稱三角形時，求m的取值范圍．

（4）直接寫出當等腰直角三角形PQM的兩條直角邊與坐標軸有兩個公共點時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-2）2-2，（2）m1=2+，m2=2-．（3）0＜m≤2-或2-≤m≤2+或2+≤m＜4，（4）0＜m＜或m＞．

【解析】

試題分析：（1）將A點坐標代入解析式直接求出a；

（2）由P、Q關于x軸對稱，且橫坐標相同可設出Q點坐標，代入拋物線解析式中，即可直接求出m的值；

（3）找到兩個臨界點：當Q點剛好在x軸上時；當M點剛好在x軸上時．算出這個兩個臨界狀態時的m值，即可確定符合要求的m的取值范圍；

（4）等腰直角三角形PQM的兩條直角邊與坐標軸有兩個公共點，也就是y軸同時與兩直角邊相交，所以只需算出M點恰好在y軸上的臨界狀態時的m值即可．

試題解析：（1）把A（0，1）代入y=a（x-2）2-2中，得1=a（0-2）2-2，

∴a=，

∴y=（x-2）2-2，

（2）設Q（m，-1），

則-1=（m-2）2-2，

∴m1=2+，m2=2-．

（3）當點Q落在x軸上時，PQ=1，

∴1-[（m-2）2-2]=1，

∴m1=2-，m2=2+，

∴當0＜m≤2-或2-≤m≤2+或2+≤m＜4，為軸對稱三角形，

（4）當M點剛好在y軸上時：|1-[（m-2）2-2]|=m，

解得：m=或m=，

∴0＜m＜或m＞．