Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與軸交于點，，與軸交于點，連接，，為線段上一點，于點，軸交拋物線于點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）①當為等腰三角形時，求點的坐標；

②求的最大值；

（3）直接寫出當面積最大時，點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點的坐標為或；②；（3）

【解析】

（1）已知拋物線上點的坐標，用待定系數法即可得出拋物線解析式．

（2）①已知B、C點坐標，求出BC，根據等腰三角形性質，當時，即可求出點P坐標；當時，過點作．設，則，根據勾股定理求出t，即可求出P點坐標．

②已知拋物線解析式，可求得A點坐標，根據勾股定理可驗證是直角三角形．設點的坐標為，則，由，可將PM和PN用t表示出來，是關于t的二次函數，根據二次函數性質可求出最大值．

（3）過點作軸于點，點的坐標為，

證明△AMP∽△ACB，，得出，，得出關于t的一元二次方程，根據函數性質，得出當t=3時，面積有最大值，再求出P點坐標．

解：（1）二次函數的圖象與軸交于點，，與軸交于點，

∴

解得

∴拋物線的解析式為．

故答案為：

（2）①∵，，

∴．

當時，．

∴點的坐標為；

當時，如圖①，過點作．設，則．

∴．解得．

此時點的坐標為．

綜上，當為等腰三角形時，點的坐標為或．

②令，則．

解得，．

∴點的坐標為．

∴，．又，

∴是直角三角形．

∵，

∴．

設點的坐標為，則，

∴，．

∴．

∴的最大值為．

故答案為：或；

（3）如圖②，過點作軸于點，點的坐標為，

∵PM∥BCM，∠APM=∠ABC

∴ △AMP∽△ACB

∴

∴

∴．

∵∴當時，的最大面積是5．

∴點的坐標為．

故答案為：P