Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，cot∠ADB= ，AB=16．點E在射線BC上，點F在線段BD上，且∠DEF=∠ADB．

（1）求線段BD的長；
（2）設BE=x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數定義域；
（3）當△DEF為等腰三角形時，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△BAD中， ，AB=16，

∴AD=12∴

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵∠DEF=∠ADB，

∴∠DEF=∠DBC，

∵∠EDF=∠BDE，

∴△EDF∽△BDE，

∴ ，

∵BC=AD=12，BE=x，

∴CE=|x﹣12|，

∵CD=AB=16

∴在Rt△CDE中， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，定義域為0＜x≤24

（3）

解：∵△EDF∽△BDE，

∴當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，

①當BE=BD時

∵BD=20，∴BE=20

②當DE=DB時，

∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，

∴BE=24；

③ 當EB=ED時，

作EH⊥BD于H，則BH= ，cos∠HBE=cos∠ADB，

即

∴ ，

解得：BE= ；

綜上所述，當△DEF時等腰三角形時，線段BE的長為20或24或

【解析】（1）由矩形的性質和三角函數定義求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）證明△EDF∽△BDE，得出 ，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出結果；（3）當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，分情況討論：①當BE=BD時；②當DE=DB時；③當EB=ED時；分別求出BE即可．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．