Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．動點P、Q都從點C出發，點P沿C→B方向做勻速運動，點Q沿C→D→A方向做勻速運動，當P、Q其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
（1）求CD的長；
（2）若點P以1cm/s速度運動，點Q以2 cm/s的速度運動，連接BQ、PQ，設△BQP面積為S（cm2），點P、Q運動的時間為t（s），求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）若點P的速度仍是1cm/s，點Q的速度為acm/s，要使在運動過程中出現PQ∥DC，請你直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：過D點作DH⊥BC，垂足為點H，

則有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．

∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm．

在Rt△DCH中，∠DHC=90°，

∴CD= =8 cm．

（2）解：當點P、Q運動的時間為t（s），則PC=t．

① 當點Q在CD上時，過Q點作QG⊥BC，垂足為點G，則QC=2 t．

又∵DH=HC，DH⊥BC，

∴∠C=45°．

∴在Rt△QCG中，QG=QCsin∠C=2 t×sin45°=2t．

又∵BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ= BP×QG= （14﹣t）×2t=14t﹣t2．

當Q運動到D點時所需要的時間t= = =4．

∴S=14t﹣t2（0＜t≤4）．

②當點Q在DA上時，過Q點作QG⊥BC，垂足為點G，

則：QG=AB=8cm，BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ= BP×QG= （14﹣t）×8=56﹣4t．

當Q運動到A點時所需要的時間t= = =4+ ．

∴S=56﹣4t（4＜t≤4+ ）．

綜合上述：所求的函數關系式是：

S=14t﹣t2（0＜t≤4），

S=56﹣4t（4＜t≤4+ ）；

（3）解：要使運動過程中出現PQ∥DC，

∵AD∥BC，∴CPQD是平行四邊形，

∴CP=DQ，

1t=at﹣8 ，

∴t= ①，

又∵Q點在AD邊上，

∴ ＜t≤ ②，

把①代入②，解得a≥1+ ．

故a的取值范圍是a≥1+ ．

【解析】（1）過D點作DH⊥BC，垂足為點H，則在Rt△DCH中，由DH、CH的長度，運用勾股定理即可求出CD的長；（2）由于點P在線段CB上運動，而點Q沿C→D→A方向做勻速運動，所以分兩種情況討論：①點Q在CD上；②點Q在DA上．針對每一種情況，都可以過Q點作QG⊥BC于G．由于點P、Q運動的時間為t（s），可用含t的代數式分別表示BP、QG的長度，然后根據三角形的面積公式即可求出S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；（3）令DQ=CP，Q點在AD邊上，求出a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和直角梯形的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能正確解答此題．