Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．
（1）若點F與B重合，求CE的長；
（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：當F和B重合時，

∵EF⊥DE，

∵DE⊥BC，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴AD=EF=9，

∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3

（2）解：過D作DM⊥BC于M，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴DM∥AB，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABMD是矩形，

∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，

設AF=CE=a，則BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，

∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，

∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，

∴∠BFE=∠DEM，

∵∠B=∠DME，

∴△FBE∽△EMD，

∴ = ，

∴ = ，

a=5，a=17，

∵點F在線段AB上，AB=7，

∴AF=CE=17（舍去），

即CE=5．

【解析】（1）根據題意畫出圖形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE；（2）過D作DM⊥BC于M，得出四邊形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，設AF=CE=a，則BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，證△FBE∽△EMD，得出比例式 = ，求出a即可．
【考點精析】本題主要考查了梯形的定義和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．