Question

【題目】已知：四邊形OABC是菱形，以O為圓心作⊙O，與BC相切于點D，交OA于E，交OC于F，連接OD，DF．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）連接EF交OD于點G，若∠C=45°，求證：GF2=DGOE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）過O作OH⊥AB，由菱形的性質可求得OH=OD，由切線的性質可知OD為圓O的半徑，可得OH為圓O的半徑，可證得結論；

（2）由條件可證明△DGF∽△DFO，再利用相似三角形的性質可證得結論．

試題解析：解：

（1）如圖，過O作OH⊥AB，∵四邊形OABC為菱形，∴AB=BC，∵BC為⊙O的切線，∴OD⊥BC，且OD為⊙O的半徑，∴ABOH=BCOD，∴OH=OD，∴AB為⊙O的切線；

（2）由（1）可知OD⊥CB，∴AO⊥DO，∴∠AOD=90°，∴∠DFO=∠AOD=45°，∵∠C=45°，且∠ODC=90°，∴∠DOF=45°，在△OGF中，∠DGF為△OGF的外角，∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，∴△DGF∽△DFO，∴，即DFGF=DGOF，∵OF=OD=OE，∴DF=GF，∴GF2=DGOE．