Question

【題目】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，連接FO，

∵F為BC的中點，AO=CO，

∴OF∥AB，

∵AC是⊙O的直徑，

∴CE⊥AE，

∵OF∥AB，

∴OF⊥CE，

∴OF所在直線垂直平分CE，

∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，

∵∠ACB=90°，

即：∠0CE+∠FCE=90°，

∴∠0EC+∠FEC=90°，

即：∠FEO=90°，

∴FE為⊙O的切線；

（2）解：如圖2，

∵⊙O的半徑為3，

∴AO=CO=EO=3，

∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴△AOE是等邊三角形，

∴∠EOA=60°

∴∠COD=∠EOA=60°，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，

∴CD= ，

∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

CD= ，AC=6，

∴AD= ．

【解析】（1）由已知可知，添加輔助線連接FO，易證OF是△ABC的中位線，得到OF∥AB，又有AC是⊙O的直徑，證得OF垂直平分EC。根據垂直平分線的性質及等角的余角相等得到∠FEO=90°，從而得到結論。或證△OEF和△OFC，即可得出結論。
（2）根據已知條件易證得△AOE是等邊三角形，得出∠COD=∠EOA=60°，在Rt△OCD中求出CD的長，再在Rt△ACD中根據勾股定理求出AD的長即可。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用線段垂直平分線的判定和含30度角的直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．