Question

【題目】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕， （如圖①），點為其交點．

（）探求到的數量關系，并說明理由．

（）如圖②，若， 分別為， 上的動點．

①當的長度取得最小值時，求的長度．

②如圖③，若點在線段上， ，則的最小值__________．

Answer 1

【答案】（）；（）①；②最小值為．

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，根據線段垂直平分線的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN的長，于是得到結論；

（3）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據軸對稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結論．

試題解析：解：（1）AO=2OD．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB．∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；

（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值．∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′．∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等邊三角形，∴BN=BD=．∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；

（3）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．

根據軸對稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，∴∠D′BQ′=90°．在Rt△D′BQ′中，D′Q′==，∴QN+NP+PD的最小值=，故答案為： ．