Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E，G分別在邊AB，對角線BD上，EG∥AD，F為GD的中點，連結FC，請利用勾股定理的逆定理，證明EF⊥FC.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：作FH⊥AB于點H，延長HF交CD于點I，作FK⊥AD于點K，連接EC，則四邊形FIDK是正方形，四邊形AKFH是矩形，由EG∥AD，F為GD的中點，可得點H是AE的中點，進而可得：HE=AH=FK=DK=DI=FI，HF=BH=IC=AK，然后由勾股定理分別表示EF2，FC2，EC2，最后根據勾股定理的逆定理即可判斷△EFC是直角三角形，進而可證EF⊥FC．

試題解析：如圖，過點F作FH⊥AB于點H，FK⊥AD于點K，延長HF交CD于點I.由題意易得四邊形FIDK是正方形，四邊形AKFH是長方形，

∴AK=HF，KD=DI=FI=KF=AH.

∵AD=CD，∴IC=AK=HF.

∵AD∥FH∥EG，F是DG的中點，

∴易證得HA=HE，∴HE=FI.

在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理，得

EF2=HE2＋HF2，FC2=FI2＋IC2，

∴EF2＋FC2=HE2＋HF2＋FI2＋IC2=2HE2＋2HF2.

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

EC2=BE2＋BC2.

∵BE2=(AB－AE)2=(AD－2HE)2

=(HF＋FI－2HE)2=(HF＋HE－2HE)2

=(HF－HE)2=HF2－2HF·HE＋HE2，

BC2=(HF＋FI)2=(HF＋HE)2

=HF2＋2HF·HE＋HE2，

∴EC2=BE2＋BC2=HF2－2HF·HE＋HE2＋HF2＋2HF·HE＋HE2

=2HE2＋2HF2，

即EF2＋FC2=EC2，

∴△EFC是直角三角形，且∠EFC=90°，

∴EF⊥FC.