Question

【題目】如圖，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=20，BC=15,點D為AC邊上的動點，點D從點C出發，沿CA往A運動，當運動到點A時停止.若設點D的運動時間為t秒，點D運動的速度為每秒2個單位長度.

（1）當t=2時，求CD、AD的長；

（2）在D運動過程中，△CBD能否為直角三角形，若不能，請說明理由，若能，請求出t的值；

（3）當t為何值時，△CBD是等腰三角形，請直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）CD=4，AD=21；（2）t= 4.5 或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒時，△CBD是等腰三角形.

【解析】試題分析：（1）根據CD=速度×時間列式計算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據AD=AC-CD代入數據進行計算即可得解；

（2）分①∠CDB=90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據時間=路程÷速度計算；②∠CBD=90°時，點D和點A重合，然后根據時間=路程÷速度計算即可得解；

（3）分①CD=BD時，過點D作DE⊥BC于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時，CD=6；③BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，根據等腰三角形三線合一的性質可得CD=2CF，再由（2）的結論解答．

試題解析：(1) t=2時，CD=2×2=4

∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15

∴AC=

AD=AC-CD=25-4=21

(2) ① ∠CDB=90°時，

即

解得BD=12

所以CD=

t= 9÷2=4.5

②∠CBD=90°時,點D和點A重合

t=25÷2=12.5

綜上所述，t= 4.5 或12.5秒

（3）①CD=BD時，如圖1，過點D作DE⊥BC于E，

則CE=BE，

CD=AD=AC=×25=12.5，

t=12.5÷2=6.25；

②CD=BC時，CD=15，t=15÷2=7.5；

③BD=BC時，如圖2，過點B作BF⊥AC于F，

則CF=9，

CD=2CF=9×2=18，

t=18÷2=9，

綜上所述，t=6.25或7.5或9秒時，△CBD是等腰三角形．