Question

【題目】已知：如圖，平分，且，D為延長線上的一點，，過D作，垂足為G．下列結論：①；②；③；④，其中正確的是（　　）

A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

易證△ABE≌△DBC，可得∠BCD=∠BEA，AE=DC可得①②正確，再根據角平分線的性質可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=DC，根據AD=AE=DC可求得④正確．

①∵BD為△ABC的角平分線，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴①正確；

②∵BD為△ABC的角平分線，BE=BC，BD=BA，

∴∠BCE=∠BEC=∠BAD=∠BDA，

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BCD=∠BEA，

∴∠BCD+∠BCE=∠BEA+∠BEC=180°，

∴②正確；

③∵∠BCD=∠BEA，∠BCD=∠BCE+∠DCE，∠BEA=∠DAE+∠BDA，∠BCE=∠BDA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACD為等腰三角形，

∴AD=DC，

∵△ABE≌△DBC，

∴AE=DC，

∴AD=AE=DC，

∴③正確；

④過D作DF⊥BC于F點，

∵D是BE上的點，∴DG=DF，

在Rt△BDF和Rt△BDG中，

，

∴Rt△BDF≌Rt△BDG（HL），

∴BF=BG，

在Rt△CDF和Rt△AGD中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△AGD（HL），

∴AG=CF，

∴BA+BC=BG+GA+BF-CF=BG+BF=2BG，

∴④正確．

故選D．