Question

【題目】如圖（1），四邊形ABCD是平行四邊形，BD是它的一條對角線，過頂點A、C分別作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N為垂足．
（1）求證：AM=CN；
（2）如圖（2），在對角線DB的延長線及反向延長線上分別取點E，F，使BE=DF，連接AE、CF，試探究：當EF滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形？并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．

∵AM⊥BD，CN⊥BD，

∴∠AMD=∠CNB=90°，

在△AMD和△CNB中 ，

∴△AMD≌△CNB．

∴AM=CN．

（2）猜想：當EF=AC時，四邊形AECF是矩形．

證明：由（1）得△AMD≌△CNB，

∴DM=BN．

∵BE=DF，

∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．

在△AMF和△CNE中

∴△AMF≌△CNE．

∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．

∴AF∥CE且AF=CE．

即四邊形AECF是平行四邊形．

又EF=AC，

∴四邊形AMCN是矩形

【解析】（1）利用平行四邊形的性質證得△AMD≌△CNB，從而根據全等三角形對應邊相等證得結論即可；（2）利用對角線相等的平行四邊形是矩形證得結論即可．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質和矩形的判定方法，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．