Question

【題目】如圖1，△ABC中，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段CB延長(zhǎng)線上，且BE=CD，EP∥AC交直線CD于點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)F，∠ADP=∠ACB．

（1）圖1中是否存在與AC相等的線段？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明，若不存在，說明理由；

（2）若將“點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段CB延長(zhǎng)線上”改為“點(diǎn)D在線段BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上”，其他條件不變（如圖2）．當(dāng)∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2時(shí)，求線段PE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】（1）先證△CBD∽△ABC，再轉(zhuǎn)化比例線段即可得出答案；

（2）利用平行線的性質(zhì)、30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、三角形中位線定理即可得出答案.

解：（1）AC=BF．證明如下：

如圖1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，

∴∠BCD=∠A，

又∵∠CBD=∠ABC，

∴△CBD∽△ABC，

∴，①

∵FE∥AC，

∴，②

由①②可得， ，

∵BE=CD，

∴BF=AC；

（2）如圖2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，

∴∠ACB=30°=∠ADP，

∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，

∵PE∥AC，

∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，

∴CP=CE，

∵BE=CD，

∴BC=DP，

∵∠ABC=90°，∠D=30°，

∴BC=CD，

∴DP=CD，即P為CD的中點(diǎn)，

又∵PF∥AC，

∴F是AD的中點(diǎn)，

∴FP是△ADC的中位線，

∴FP=AC，

∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，

∴AB=AC，

∴FP=AB=2，

∵DP=CP=BC，CP=CE，

∴BC=CE，即C為BE的中點(diǎn)，

又∵EF∥AC，

∴A為FB的中點(diǎn)，

∴AC是△BEF的中位線，

∴EF=2AC=4AB=8，

∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．