Question

【題目】已知，點，點分別在軸正半軸和負半軸上，．

（1）如圖1，若，，求的度數；

（2）在和內作射線，，分別與過點的直線交于第一象限內的點和第三象限內的點．

①如圖2，若，恰好分別平分和，求的值；

②若，，當，則的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）利用二次根式的性質求得的值，根據三角形內角和定理結合已知條件構建方程，再利用平行線的性質即可求解；

（2）①過M作MF∥AB，NG∥AB，根據角平分線的性質和平行線的性質，求得∠AMN-∠ENM = –，再根據平行線的性質和三角形內角和定理即可求解；

②設，，則，，根據①的解法即可求得∠AMN-∠ENM=，再解不等式組即可求解．

（1）∵，整理得：，

∴，

解得：，

∴∠BAD=4∠OED，

∵∠OED+∠ODE=90①，∠BAD+∠ODE=180，即4∠OED +∠ODE=180②，

聯立①②解得：∠OED=30，∠ODE=60，

∵AB∥DE，

∴∠CAD=∠ODE=60；

（2）①∵AM、EN是∠BAO、∠DEO的平分線，

∴設，，

過M作MF∥AB，NG∥AB分別交AD于F，G，

∵AB∥DE，

∴AB∥MF∥NG∥DE，

∴∠FMA=∠BAM=，∠FMN=∠MNG，∠GNE=∠NED=，

∴∠AMN=∠FMA+∠FMN= +∠FMN，

∠ENM=∠GNE +∠MNG = +∠FMN，

∴∠AMN-∠ENM= +∠FMN--∠FMN= –；

∵∠ODE+∠OED=∠ODE+2 =90，

∵AB∥DE，

∴∠BAD+∠ODE=180，即+∠ODE=180，

∴ –=90，

∴∠AMN-∠ENM=–=45；

②∵，，

∴設，，則，，

過M作MF∥AB，NG∥AB分別交AD于F，G，

∵AB∥DE，

∴AB∥MF∥NG∥DE，

∴∠FMA=∠BAM=，∠FMN=∠MNG，∠GNE=∠NED=，

∴∠AMN=∠FMA+∠FMN= +∠FMN，

∠ENM=∠GNE +∠MNG = +∠FMN，

∴∠AMN-∠ENM= +∠FMN--∠FMN= –=；

∵∠ODE+∠OED=∠ODE+ =90，

∵AB∥DE，

∴∠BAD+∠ODE=180，即+∠ODE=180，

∴–=90，即–=，

∴∠AMN-∠ENM==；

∵，

∴，

解不等式，化簡得：，

解得：，

解不等式，化簡得：，

解得：，

∴的取值范圍是．