Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸．
（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），

∴ ，

解得， ，

即此拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴此拋物線頂點D的坐標是（1，﹣4），對稱軸是直線x=1

（3）

解：存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，

設點P的坐標為（1，y），

當PA=PD時，

= ，

解得，y=﹣ ，

即點P的坐標為（1，﹣ ）；

當DA=DP時，

= ，

解得，y=﹣4±2 ，

即點P的坐標為（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）；

當AD=AP時，

= ，

解得，y=±4，

即點P的坐標是（1，4）或（1，﹣4），

當點P為（1，﹣4）時與點D重合，故不符合題意，

由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（1，﹣ ）或（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）或（1，4）

【解析】（1）根據拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），可以求得拋物線的解析式；（2）根據（1）中的解析式化為頂點式，即可得到此拋物線頂點D的坐標和對稱軸；（3）首先寫出存在，然后運用分類討論的數學思想分別求出各種情況下點P的坐標即可．本題考查二次函數綜合題，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數學思想解答問題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)．