Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，其對稱軸與軸交于點．

（1）求點，的坐標；

（2）設直線與直線關于該拋物線的對稱軸對稱，

①求直線的解析式

②若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線的下方，求該拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為，點的坐標為；（2）①；②．

【解析】

(1)令求出的值，即可得到點A的坐標，求出對稱軸解析式，即可得到點B的坐標；
(2)求出點A關于對稱軸的對稱點(2，-2)，然后設直線l的解析式為(k≠0)，利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
(3)根據二次函數的對稱性判斷在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，然后判斷出拋物線與直線l的交點的橫坐標為-1，代入直線l求出交點坐標，然后代入拋物線求出m的值即可得到拋物線解析式．

(1) ∵當時，，

∴點的坐標為(0，-2)，

∴拋物線的對稱軸為直線；

∴點B的坐標為(1，0)；

(2)①由題意，點A(0，-2)關于直線的對稱點的坐標為(2，-2)，

設直線的解析式為，

∵點 (1，0)和 (2，-2)在直線上，

∴，

解得，

∴直線的解析式為；

②∵拋物線的對稱軸為直線，
∴拋物線在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，
結合圖象可以觀察到拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線的上方，在-1＜x＜0這一段位于直線的下方，
∴拋物線與直線的交點的橫坐標為-1，
當時，，
所以，拋物線過點(-1，4)，
當時，，
解得，
∴拋物線的解析式為．