Question

【題目】如圖1，△ABC內接于⊙O，AC是直徑，點D是AC延長線上一點，且∠DBC＝∠BAC， .

(1) 求證：BD是⊙O的切線；

(2) 求的值；

(3) 如圖2，過點B作BG⊥AC交AC于點F，交⊙O于點G，BC、AG的延長線交于點E，⊙O的半徑為6，求BE的長.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) ；(3)

【解析】試題分析：（1）連接OB.欲證明是切線，只要證明即可；
（2）由△DBC∽△DAB，推出在Rt△ABC中, 推出設CD=a，則BD=2a，AD=4a，AC=3a，由此即可解決問題；
（3）如圖2中，連接CG．由△ECG∽△EAB，推出,設EC=y,則由此想辦法列出方程即可解決問題；

試題解析：(1)證明：如圖1中，連接OB.

∵AB是直徑，

∴

∵OB=OA=OC，

∴∠A=∠OBA，∠OBC=∠OCB，

∴ 即OB⊥BD，

∴DB是⊙O的切線.

(2)∵∠D=∠D，∠DBC=∠A，

∴△DBC∽△DAB，

在Rt△ABC中,

設CD=a，則BD=2a，AD=4a，AC=3a，

(3)如圖2中，連接CG.

在Rt△ABC中，∵AC=12，BC:AB=1:2，

∴

∵AC⊥BG，

∴BF=FG，

BC=CG，

∵∠E=∠E，∠ECG=∠EAB，

∴△ECG∽△EAB，

∴,設EC=y,則

∵BE=2EG，

∴

∴

∴