Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，設運動時間為t秒.

(1)當t=1時，求△ACP的面積.

(2)t為何值時，線段AP是∠CAB的平分線？

(3)請利用備用圖2繼續探索：當t為何值時，△ACP是以AC為腰的等腰三角形？(直接寫出結論)

(4)當p點在AB上運動時，線段CP值為整數的點有_______________個.

Answer 1

【答案】(1)6;(2)t=1.5;(3) t為3s、5.4s、6s時，△ACP為等腰三角形;(4)6

【解析】

(1)根據速度為每秒2cm，求出出發2秒后CP的長，然后根據面積公式即可得到結果；
(2)如圖1，由勾股定理得到AB==10，根據已知條件得到△ACP≌△ADP，于是得到AD=AC=6cm， BD=ABAD=4cm，根據勾股定理列方程即可得到結論；
(3)①如圖2，若P在邊BC上時， AC=CP=6cm，此時用的時間為3s，△ACP為等腰三角形；②若PP在AB邊上時，有兩種情況： (i)若CP=AC=6cm，過C作作CD⊥AB于點D，，根據面積法求得高為4.8cm，在Rt△PCD中， PD=3.6，所以AP=2PD=7.2cm，所以PP運動的路程為187.2=10.8cm，則用的時間為5.4s，△ACP為等腰三角形；(ii)若使AP=CA=6cm，此時BP=4cm，P運動的路程為8+4=12cm，所以用的時間為6s，△ACP為等腰三角形；

(4) 當p點在AB上運動時,先求出AC的取值范圍，然后分點P在點D兩側討論即可.

解：(1)當t=1時，PC=1×2=2，
∵AC=6，
∴S△ACP=ACPC=×6×2=6；
(2)如圖，

∵∠C=90°，
∴AB==10，
根據題意得：△ACP≌△ADP，
∴AD=AC=6，BD=ABAD=4，PD=PC=2t，
∴PB=82t，
在Rt△PDB中，PD2+BD2=PB2，
∴(2t)2+42=(82t)2，
解得： t=1.5；
(3)因為△ACP是以AC為腰的等腰三角形，

① 如圖2，若P在邊BC上時， AC=CP=6，

此時用的時間為t=6÷2=3，△ACP為等腰三角形；

②若P在AB邊上時，有兩種情況：
(i)如圖3,

若CP=AC=6，過C作作CD⊥AB于點D，根據面積法求得高為4.8cm，
在Rt△PCD中， PD= =3.6，
所以AP=2PD=7.2，
所以P運動的路程為187.2=10.8，

則用的時間為t=10.8÷2=5.4，△ACP為等腰三角形；
(ii)如圖4，

若使AP=AC=6，此時BP=4， P運動的路程為8+4=12，
所以用的時間為t=12÷2=6，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當t為3s、5.4s、6s時，△ACP為等腰三角形．

（4）因為當p點在AB上運動時，由圖3知，4.8CP8,

當p點在DB上運動時,CP的整數值可為8,7,6,5；

當p點在DA上運動時,CP的整數值可為6,5,

綜上所述，當p點在AB上運動時，線段CP值為整數的點有6個.