Question

如圖,拋物線與x軸交于A、C兩點,與y軸交于B點．

（1）求△AOB的外接圓的面積；
（2）若動點P從點A出發,以每秒1個單位沿射線AC方向運動；同時,點Q從點B出發,以每秒0.5個單位沿射線BA方向運動,當點P到達點C處時,兩點同時停止運動．問當t為何值時,以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？
（3）若M為線段AB上一個動點,過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．
問：是否存在這樣的點M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．

Answer 1

（1）25π；（2）t＝以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似；（3）不存在這樣的點M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形,理由見解析．

試題分析：(1)先求出A,B坐標,則△AOB的外接圓的半徑為AB,根據圓的面積公式求解即可；
（2）根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式,求解即可；
（3）若四邊形OMNB為平行四邊形,根據平行四邊形的性質得出MN=OB=8,據此列出方程(x－8)－(x²－x－8)＝8,由判別式△＜0即可判斷出不存在這樣的點M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．
試題解析：（1）∵,
∴當y=0時,=0,解得x=6或﹣8,
∴A（6,0）,B（0,－8）
∴OA＝6,OB＝8,∴AB＝10
∴S＝π·(5)²＝25π．
（2）AP＝t,AQ＝10－0.5t,易求AC=8,∴0≤t≤8
若△APQ∽△AOB,則．∴t＝．
若△AQP∽△AOB,則．∴t＝＞8（舍去,）．
∴當t＝時,以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似．
（3）直線AB的函數關系式為 ．
∵MN∥y軸
∴設點M的橫坐標為x,則M（x,x－8）,N（x,x²－x－8）．
若四邊形OMNB為平行四邊形,則MN＝OB＝8
∴(x－8)－(x²－x－8)＝8
即x²－6x＋12＝0
∵△＜0,∴此方程無實數根,
∴不存在這樣的點M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．