Question

已知：拋物線與x軸交于點A、B（A左B右），其中點B的坐標為（7，0），設拋物線的頂點為C．

（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）如圖1，若AC交y軸于點D，過D點作DE∥AB交BC于E．點P為DE上一動點，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G．設點P的橫坐標為a，四邊形CFPG的面積為y，求y與a的函數關系式和y的最大值；
（3）如圖2，在條件（2）下，過P作PH⊥x軸于點H，連結FH、GH，是否存在點P，使得△PFH與△PHG相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1），C（3，4）；（2），當時，y最大值=
（3）（3，1）或（，1）或（，1）

試題分析：（1）由題意把點B的坐標（7，0）代入拋物線即可得到拋物線的解析式，再根據拋物線的頂點坐標公式（，）即可求得頂點C的坐標；
（2）由DE∥AB，再結合PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，可得四邊形CFPG為矩形，根據矩形的性質及二次函數的解析式即可求得y與a的函數關系式，從而可以求得y的最大值；
（3）根據相似三角形的性質：相似三角形的對應邊的比等于相似比，求解即可，要注意分情況討論.
試題解析：（1）∵拋物線過點B（7，0）
∴，解得
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴頂點C的坐標為（3，4）；
（2）由題意得四邊形CFPG為矩形，
∴，
當時，y最大值=
（3）（3，1）或（，1）或（，1）.