Question

【題目】已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2（a＞0）相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸正半軸相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x軸，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4，AC=4BC，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）延長(zhǎng)AD、BO相交于點(diǎn)E，求證：DE=CO．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵拋物線y=ax2的對(duì)稱軸是y軸，且AB∥x軸，
∴A與B是對(duì)稱點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC= ，
∴A（-1， ），
把A（-1， ）代入拋物線y=ax2（a＞0）中得：a= ；
（2）解：如圖2，過B作BE⊥x軸于E，過A作AG⊥BE，交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交y軸于F，

∵CF∥BG，
∴ ，
∵AC=4BC，
∴ =4，
∴AF=4FG，
∵A的橫坐標(biāo)為-4，
∴B的橫坐標(biāo)為1，
∴A（-4，16a），B（1，a），
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴ ，
∴ ，
∴16a2=4，
a=± ，
∵a＞0，
∴a= ；
∴B（1， ）；
（3）解：如圖3，

設(shè)AC=nBC，
由（2）同理可知：A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，
則設(shè)B（m，am2），則A（-mn，am2n2），
∴AD=am2n2 ，
過B作BF⊥x軸于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，DE=am2n，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴ ，
∴ ，
∴CO= =am2n，
∴DE=CO．
【解析】（1）拋物線y=ax2關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)AB∥x軸，得出A與B是對(duì)稱點(diǎn)，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可證得△AOB是等邊三角形，利用解直角三角形求出OC的長(zhǎng)，就可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求出a的值。
（2）過B作BE⊥x軸于E，過A作AG⊥BE，交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交y軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例證出AF=4FG，根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4，求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，則A（-4，16a），B（1，a），再根據(jù)已知證明∠BOE=∠DAO，∠ADO=∠OEB，就可證明△ADO∽△OEB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于a的方程求解，再根據(jù)點(diǎn)B在第一象限，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)即可。
（3）根據(jù)（2）可知A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，則設(shè)B（m，am2），則A（-mn，am2n2），得出AD的長(zhǎng)，再證明△BOF∽△EOD，△BCO∽△BAE，得對(duì)應(yīng)邊成比例，證得CO=am2n，就可證得DE=CO。