Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C（0，3），拋物線的對稱軸為直線．

（1）求這條拋物線的關系式，并寫出其對稱軸和頂點M的坐標；

（2）如果直線y=kx+b經過C、M兩點，且與x軸交于點D，點C關于直線的對稱點為N，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）點P在直線上，且以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∴y=﹣x2+2x+3，對稱軸為直線x=1，頂點M（1，4）；（2）證明見解析; （3）P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．

【解析】試題分析：（1）將A、C兩點坐標代入解析式即可求出，將解析式配成頂點式即可得到對稱軸方程和頂點坐標；
（2）先由C、M兩點坐標求出直線CM解析式，進而求出D點坐標，由于C、N兩點關于拋物線對稱軸對稱，則CN∥AD，同時可求出N點坐標，然后得出CN=AD，結論顯然；
（3）設出P點縱坐標，表示出MP的長度，過點P作于H，表示出PH的長度，在Rt△APE中中用勾股定理列出方程，解之即得答案．

試題解析：(1)∵拋物線經過點A(1,0)和點C(0,3)，

對稱軸為直線x=1,頂點M(1,4)；

(2)如圖1，

∵點C關于直線l的對稱點為N，

∴N(2,3)，

∵直線y=kx+b經過C.M兩點，

∴

∴

∴y=x+3，

∵y=x+3與x軸交于點D，

∴D(3,0)，

∴AD=2=CN

又∵ADCN，

∴CDAN是平行四邊形；

(3)設P(1,a)，過點P作PH⊥DM于H，連接PA、PB，如圖2，

則MP=4a，

又

Rt△APE中,