Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E（與點B、C不重合）是BC邊上一點，將線段EA繞點E順時針旋轉90°到EF，過點F作BC的垂線交BC的延長線于點G，連接CF．

（1）求證：△ABE≌△EGF；
（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF ， 求BE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EP⊥AE，

∴∠AEB+∠GEF=90°，

又∵∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠GEF=∠BAE，

又∵FG⊥BC，

∴∠ABE=∠EGF=90°，

在△ABE與△EGF中，

，

∴△ABE≌△EGF（AAS）

（2）解：∵△ABE≌△EGF，AB=2，

∴AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，

∵S△ABE=2S△ECF，

∴SEGF=2S△ECF，

∴EC=CG=1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∵BC=AB=2，

∴BE=2﹣1=1．

【解析】（1）根據同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等；（2）利用全等三角形的性質得出AB=EG=2，S△ABE=S△EGF ， 求出SEGF=2S△ECF ， 根據三角形面積得出EC=CG=1，根據正方形的性質得出BC=AB=2，即可求出答案．此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，正方形的性質，三角形的面積，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．