Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以點A為頂點的一個60°的角∠EAF繞點A旋轉，∠EAF的兩邊分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合，連接EF.

(1)求證：BE＝CF.

(2)在∠EAF繞點A旋轉的過程中，四邊形 AECF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出其定值；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2) S四邊形AECF＝4

【解析】試題分析：（1）連接AC，根據(jù)∠BAD＝120°和菱形的性質可得∠ABE＝∠ACF＝60°，然后由∠1＋∠2＝60°，∠3＋∠2＝∠EAF＝60°得∠1＝∠3，再證得△ABC為等邊三角形，得AC＝AB，進而證得△ABE≌△ACF，由全等三角形的對應邊相等即可得出結論；

（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC可知四邊形AECF的面積不變，做出BC邊上的高，根據(jù)等邊三角形的性質和勾股定理求出高，利用三角形的面積公式求出△ABC的面積即為AECF的面積．

試題解析：

（1）證明：如圖，連接AC.

∵四邊形ABCD為菱形，

∠BAD＝120°，　

∴∠ABE＝∠ACF＝60°，

∠1＋∠2＝60°，

∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，

∴∠1＝∠3．

∵∠ABC＝60°，AB＝BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AC＝AB，

∴△ABE≌△ACF．

∴BE＝CF．

（2）解：四邊形AECF的面積不變．

由（1）知△ABE≌△ACF，

則S△ABE＝S△ACF，

故S四邊形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC．

如圖，過A作AM⊥BC于點M，則BM＝MC＝2，

∴AM＝＝＝．

∴S△ABC＝BC·AM＝×4×＝．

故S四邊形AECF＝．