Question

已知，如圖，在直角坐標系中，以y軸上的點C為圓心，2為半徑的圓與x軸相切于原點O，點P在x軸的負半軸上，PA切⊙C于點A，AB為⊙C的直徑，PC交OA于點D．
（1）求證：PC⊥OA；
（2）若△APO為等邊三角形，求直線AB的解析式；
（3）若點P在x軸的負半軸上運動，原題的其他條件不變，設點P的坐標為（x，0），四邊形POCA的面積為S，求S與點P的橫坐標x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（4）當點P在x軸的負半軸上運動時，原題的其他條件不變，分析并判斷是否存在這樣的一點P，使S_{四邊形POCA}=S_△AOB？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵⊙C與x軸相切于原點O，點P在x軸上，
∴PO與⊙C相切于點O，
又∵PA切⊙C于點A，
∴PO=PA，PC平分∠APO，
∴PC⊥OA．

（2）∵△APO為等邊三角形，
∴∠CPO=

1

2

∠APO=

1

2

×60°=30°，
又∵∠POC=90°，
∴PC=2OC=2×2=4；
在Rt△POC中由勾股定理可得PO=2

3

，
作AH⊥PO于H，在Rt△AHO中，OA=OP=2

3

，
∴OH=

1

2

PO=

3

，
∴AH=3，
∴A（-

3

，3），
又點C（0，2），
故利用待定系數法可求得直線AB的函數解析式為y=-

3

3

x+2．

（3）S_{四邊形POCA}=2S_△POC=2×

1

2

×（-x）×2=-2x，
即S=-2x（x＜0）．

（4）存在這樣的一點P，其坐標為（-2，0），
∵S_△AOB=2S_△AOC，S_{四邊形POCA}=2S_△POC，
∴S_△AOC=S_△POC，
∴PA∥OC；
又∵∠POC=90°，
∴∠APO=90°，
∵∠PAC=∠POC=90°，
∴四邊形POCA是矩形，
∴OP=AC=2，
∴P（-2，0）．