Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發，向點B以 個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，△APQ為直角三角形；
（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴當y=0時，x=3，即A點坐標為（3，0），當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3）．

∵將A（3，0），B（0，3）代入得： ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）

解：∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如圖①所示：∠PQA=90°時．

設運動時間為t秒，則QA= t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， = ，即 = ，

解得：t=1．

如圖②所示：∠QPA=90°時．

設運動時間為t秒，則QA= t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， = ，即 = ，

解得：t= ．

綜上所述，當t=1或t= 時，△PQA是直角三角形．

（3）

解：如圖③所示：

設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），

則EP=3﹣t．點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），

則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴四邊形EFQP為平行四邊形．

∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

將t=1代入得點F的坐標為（2，3）．

【解析】（1）先求得直線AB與x軸、y軸的交點坐標，然后將點A、點B的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程組求得b、c的值從而可得到拋物線的解析式；（2）由點A、B的坐標可知OB=OA，從而可求得∠BAO=45°，然后分為∠PQA=90°和∠QPA=90°兩種情況求解即可；（3）由題意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四邊形EFQP為平行四邊形，從而得到PE=FQ，然后設點P的坐標為（t，0）則可表示出點Q、E、F的坐標，從而可求得PE、FQ的長，最后根據PE=FQ列方程求解即可．